Pracował jako nauczyciel. Był docentem na Uniwersytecie w Algierze oraz Grodnie.

W latach 1990 - 1996 był wicemerem Grodna ds. oświaty i kultury. Wprowadził wówczas język białoruski w 80 proc. szkół, w których dotąd obecny był tylko rosyjski, wspomagał też szkoły polskie. W latach 1996 - 1997 był prezesem klubu koszykarskiego Grodno-93. W 1996 roku rozpoczął działalność opozycyjną. W 1997 roku założył zlikwidowaną przez władze w roku 2003 fundację "Ratusza", wspomagającą niezależne organizacje pozarządowe. Obecnie prowadzi Fundację Rozwoju Lokalnego.

Był szefem sztabu wyborczego Szymona Domasza, kandydata w wyborach prezydenckich w 2001 roku. W październiku 2005 roku sam został wybrany wspólnym kandydatem Zjednoczonych Sił Demokratycznych w wyborach prezydenckich w marcu 2006 roku. Zdobył w nich, według Centralnej Komisji Wyborczej, 6 proc. głosów przy 92,6 proc. frekwencji.

Milinkiewicz jest honorowym członkiem Związku Polaków na Białorusi, biegle mówi po polsku (zna też rosyjski, francuski i angielski). Za odnalezienie miejsca pochówku Stanisława Augusta Poniatowskiego otrzymał medal "Za zasługi dla kultury polskiej". Jego praprapradziadek i prapradziadek walczyli w postaniu styczniowym.

Aleksander Milinkiewicz jest liderem niezarejestrowanej partii "Za Wolność". 26 marca 2007 roku został pobity przez milicję podczas demonstracji z okazji dnia wolności. 1 grudnia 2007 roku został laureatem Nagrody im. Kazimierza Pułaskiego "Rycerz Wolności" za promowanie wolności, sprawiedliwości i demokracji.

Jest doktorem matematyki i fizyki. Ukończył studia na Grodzieńskim Uniwersytecie Pedagogicznym. Był na stypendiach we Francji, USA i Niemczech.