Karierę dziennikarską rozpoczynał w Radiu ZET i TVP. Był sprawozdawcą sejmowym "Teleexpressu". W listopadzie 2003 r. zaczął współpracować z Tomaszem Sekielskim. Prowadzili najpierw piątkową audycję "Kuluary", następnie - przez rok - codzienny program "Prześwietlenie" - oba w TVN24. Jesienią 2005 r. Sekielski wraz z Morozowskim przenieśli się na antenę TVN, gdzie do dziś tworzą program publicystyczny "Teraz my!". Morozowski jest także szefem sekcji politycznej w TVN24, gdzie prowadzi program "Skaner polityczny" oraz komentatorem TVN24. Wcześniej prowadził "Studio 24".

Andrzejowi Morozowskiemu udało się w programie "Teraz my!" 11 kwietnia 2006 r. wyprowadzić z równowagi Andrzeja Leppera tym, że do programu zaprosił oprócz samego Leppera kilku jego byłych partyjnych kolegów, którzy w trakcie programu zarzucili swemu byłemu szefowi nieuczciwość. Dzień po programie Lepper zwołał konferencję prasową, na której oświadczył: "Ja jestem cierpliwy. Wytrzymałem tam i Morozowski nie dostał w papę za przeproszeniem. A powinien, za to, co zrobił! Ale ja na chamstwo nie odpowiadam chamstwem, tylko kulturą." Wezwany przez TVN do przeproszenia Morozowskiego, Lepper początkowo odmówił, jednak później zmienił zdanie. Swoją wypowiedź usiłował obrócić w żart, a samego Morozowskiego oraz stację TVN publicznie przeprosił.

26 września 2006 r. Sekielski i Morozowski w programie "Teraz my!" wyemitowali nagranie, które było prowokacją dziennikarską, zrealizowaną z inspiracji Janusza Maksymiuka, wiceprzewodniczącego Samoobrony i z pomocą Renaty Beger. Przedstawili materiał nagrany za pomocą ukrytej kamery, ukazujący polityczne negocjacje, dotyczące stanowisk w rządzie, co wywołało tzw. "aferę taśmową".

Andrzej Morozowski jest żonaty z Agatą Nowakowską, dziennikarką ekonomiczną "Gazety Wyborczej". Mają syna Janka.

Wspólnie z Tomaszem Sekielskim laureat Telekamer 2007 i 2008.

Jest absolwentem Wydziału Wiedzy o Teatrze warszawskiej PWST (obecnie Akademia Teatralna im. Aleksandra Zelwerowicza).

W 2006 roku wraz z Tomaszem Sekielskim i Andrzejem Turskim dostał Wiktora w kategorii publicystyka oraz nagrodę im. Andrzeja Wojciechowskiego (październik 2006). 18 grudnia 2006 r. otrzymał wespół z Sekielskim tytuł dziennikarza roku Grand Press 2006. Są także laureatami Telekamery 2007.