Początki kariery sportowej Baszanowskiego nie wyglądały imponująco. Lekcji wf w podstawówce w ogóle nie pamiętał. Z podnoszeniem ciężarów zetknął się dopiero w wojsku, dokąd trafił po krótkiej pracy na stanowisku kontrolera technicznego w jednym z Państwowych Ośrodków Maszynowych w województwie szczecińskim.
Tam po raz pierwszy próbował swoich sił, startując w wojskowych spartakiadach. Na zakończenie służby oficer wychowania fizycznego poradził mu, by starał się o przyjęcie na warszawską AWF i możliwość trenowania pod okiem trenera Augustyna Dziedzica.
W 1957 r. Baszanowski rozpoczął tam studia i treningi. Szybko został włączony do kadry narodowej i odniósł swój pierwszy sukces, stając na podium mistrzostw Polski (trzecie miejsce) w wadze piórkowej. Na igrzyskach olimpijskich w Rzymie w 1960 r. był piąty. Rok później po raz pierwszy zdobył tytuł mistrza świata i Europy. Kolejne lata to niemal nieprzerwane pasmo sportowych sukcesów, w tym m.in. zdobycie złotych medali na olimpiadzie w Tokio (1964) i Meksyku (1968), pięciokrotne mistrzostwo świata (1961, 64, 65, 68, 69), sześciokrotne mistrzostwo Europy (1961, 65, 68, 69, 70, 71) i dwudziestoczterokrotne poprawianie rekordu świata. Karierę zakończył w 1972 r. pechową dla niego olimpiadą w Monachium. Nie udało mu się zostać po raz trzeci mistrzem olimpijskim, mimo świetnej formy. Przy wyciskaniu 130 kg pojawił się paraliżujący ból pleców i Baszanowski ostatecznie zajął "tylko" 4. miejsce.
Po zakończeniu kariery został trenerem. W 1994 został szefem wyszkolenia Polskiego Związku Podnoszenia Ciężarów, a w 1999 wybrano go na stanowisko prezydenta Europejskiej Federacji Podnoszenia Ciężarów.

Waldemar Baszanowski zmarł 29 kwietnia 2011 roku po długiej chorobie.

Ukończył warszawską Akademię Wychowania Fizycznego