W okresie studenckim był założycielem i dyrektorem Klubu Riwiera-Remont (1973-1978), który zasłynął niezwykle oryginalnymi inicjatywami kulturalnymi. Gościli tam między innymi Michelangelo Antonioni, Julio Cortázar, Nikita Michałkow, Andrzej Wajda. Zdobyte doświadczenie zaowocowało objęciem stanowiska zastępcy dyrektora Wydziału Kultury Urzędu Miasta Warszawy (1979-1981). W 1982 r. wraz z Jerzym Grzegorzewskim został dyrektorem Centrum Sztuki "Studio" w Warszawie. Doprowadził do powstania renomowanej orkiestry Sinfonia Varsovia, współpracując z Jerzym Maksymiukiem i Yehudi Menuhinem. Był producentem ponad siedemdziesięciu spektakli Teatru Studio. W 1991 r. przeprowadził reformę polegającą na powołaniu Agencji Produkcji Filmowej, Agencji Dystrybucji Filmowej i Agencji Scenariuszowej - instytucji przyznających dotacje producentom prywatnym i państwowym oraz dystrybutorom. NIK zarzucił mu wówczas naruszenie prawa oraz dopuszczenie do poważnych zaniedbań finansowych.

W latach 1990-1994 był podsekretarzem stanu w Ministerstwie Kultury i Sztuki oraz szefem Komitetu Kinematografii. Z jego inicjatywy powstał Festiwal Gwiazd w Międzyzdrojach. W latach 1994-1998 był Prezesem Państwowej Agencji Inwestycji Zagranicznych. W okresie od września 1998 r. do lipca 2002 r. był dyrektorem Teatru Wielkiego - Opery Narodowej w Warszawie. Pełnił również funkcje prezesa Towarzystwa Zachęty Sztuk Pięknych i honorowego prezesa Polskiego Związku Golfa.

6 lipca 2002 roku został ministrem kultury w rządzie Leszka Millera. Od 2 maja 2004 r. do 31 października 2005 r. pełnił tę samą funkcję w rządzie Marka Belki. 9 kwietnia 2003 r. zeznawał jako świadek, przed sejmową komisją badającą sprawę Lwa Rywina.

W 2006 r. pojawiły się informacje o możliwości startu Dąbrowskiego w wyborach samorządowych, jako kandydata Sojuszu Lewicy Demokratycznej (lub ewentualnie jako wspólnego kandydata zjednoczonej lewicy) na stanowisko prezydenta Warszawy.

Ukończył Executive Programme for Leaders in Development na Uniwersytecie Harwardzkim

Ukończył Wydział Elektroniki na Politechnice Warszawskiej,

W 2000 r. otrzymał Order Legii Honorowej przyznany przez rząd Republiki Francuskiej. W kwietniu 2001 r. został uhonorowany wyróżnieniem "Zasłużony dla Warszawy", przyznanym przez Radę miasta stołecznego Warszawy.