Absolwent prawa Uniwersytetu Warszawskiego; ukończył też podyplomowe studia z zarządzania

Karierę polityczną zaczynał w samorządzie warszawskim, do którego został wybrany z listy Prawa i Sprawiedliwości. Wcześniej pracował w agencji nieruchomości jako doradca prawny. W 2002 r. został przewodniczącym rady dzielnicy Warszawy Żoliborz, a w maju 2004 jej burmistrzem. W 2006 roku wybrano go szefem warszawskiego PiS-u.
Mianowany wojewodą mazowieckim 18 stycznia 2007 r., miał być przeciwwagą dla rządów Platformy Obywatelskiej w Warszawie. Utrzymał się jednak na tym stanowisku zaledwie dwa tygodnie. W tym czasie zdążył zażądać ustąpienia Hanny Gronkiewicz-Waltz ze stanowiska prezydenta stolicy. 1 lutego 2007 r. premier Jarosław Kaczyński odwołał go z funkcji wojewody po ujawnieniu przez tygodnik "Wprost" informacji o zatrzymaniu go w 2006 roku za jazdę na rowerze w stanie nietrzeźwym i ukaranie zakazem prowadzenia pojazdów na 2 lata. Jak się okazało, Dąbrowski już wówczas nie miał prawa jazdy, bo 10 lat wcześniej zabrała mu je policja za przekroczenie liczby dozwolonych punktów karnych. Zamiast zdać ponownie egzamin ówczesny burmistrz Żoliborza, próbował w 2004 r. wyłudzić ten dokument z wydziału komunikacji dzielnicy Praga Południe, twierdząc, że go zgubił. Kiedy "Wprost" nagłośnił sprawę, zajęły się nią organa ścigania i byłemu już wojewodzie postawiły zarzut mataczenia i próby wyłudzenia prawa jazdy.
Po odwołaniu ze stanowiska Wojciech Dąbrowski znalazł zajęcie w spółkach Skarbu Państwa. Zasiada w radzie nadzorczej krakowskiego Opakometu i spółki Radwar wchodzącej w skład państwowej grupy zbrojeniowej Bumar. Dąbrowski jest w RN Radwaru przedstawicielem właściciela (Bumaru).